Thuyết nhân học trong didactic toán là gì? Các nghiên cứu

Giới thiệu chung về didactic toán học

Didactic toán học là một lĩnh vực nghiên cứu liên ngành giữa toán học và giáo dục học, chuyên phân tích cách con người học, dạy và hiểu toán trong các bối cảnh khác nhau. Không giống các lý thuyết tâm lý học thuần túy tập trung vào cá nhân người học, didactic toán học đặt trọng tâm vào mối quan hệ giữa người học, tri thức toán học và môi trường giảng dạy. Lĩnh vực này được phát triển mạnh ở Pháp từ thập niên 1970 và lan rộng ra nhiều quốc gia châu Âu, sau đó là toàn cầu.

Didactic toán học không chỉ là nghiên cứu về phương pháp giảng dạy, mà còn là một khung lý thuyết phân tích sự biến đổi của tri thức toán học khi nó được chuyển từ ngữ cảnh học thuật sang giảng dạy. Nó xem xét:

• Ai quyết định nội dung giảng dạy toán?
• Những yếu tố nào ảnh hưởng đến cách tổ chức nội dung toán học?
• Học sinh tiếp nhận và diễn giải các khái niệm như thế nào?

Trong bối cảnh này, nhiều lý thuyết didactic đã ra đời nhằm trả lời các câu hỏi trên. Một trong những lý thuyết quan trọng, mang tính hệ thống và có phạm vi phân tích rộng nhất là Thuyết nhân học trong didactic toán học (ATD), do Yves Chevallard xây dựng và phát triển.

Nguồn gốc và tác giả của thuyết nhân học trong didactic toán

Thuyết nhân học trong didactic toán học (Anthropological Theory of the Didactic – ATD) ra đời vào những năm 1980 dưới sự khởi xướng của Yves Chevallard – một nhà toán học và chuyên gia lý luận giáo dục người Pháp. Trước ATD, Chevallard từng phát triển khái niệm "didactic transposition" (chuyển đổi tri thức) vào năm 1985, làm nền tảng lý luận cho ATD về sau. Ông làm việc tại Université Aix-Marseille và đóng vai trò trung tâm trong cộng đồng nghiên cứu didactic tại Pháp.

Chevallard nhận thấy rằng trong hệ thống giáo dục, tri thức toán học không được truyền đạt nguyên trạng từ toán học hàn lâm đến học sinh, mà phải đi qua quá trình chuyển đổi, thích nghi và thể chế hóa. Quá trình này không mang tính trung lập mà bị ảnh hưởng bởi nhiều yếu tố như chương trình học, quy định của bộ giáo dục, điều kiện giảng dạy, văn hóa trường lớp.

Một số tài liệu gốc và quan trọng của Chevallard bao gồm:

• Steps Towards a New Epistemology in Mathematics Education (2006)
• La transposition didactique (1991), bản tiếng Pháp – nền tảng cho lý thuyết ATD

Tư duy của Chevallard là nền tảng cho nhiều mô hình phân tích hiện đại trong giáo dục toán học, đặc biệt trong việc thiết kế chương trình học và nghiên cứu vai trò của thể chế giáo dục đối với tri thức.

Khái niệm trung tâm: Thực thể nhân học-didactic (praxeology)

Khái niệm cốt lõi trong ATD là praxeology – một đơn vị phân tích hệ thống hành động trong toán học và giáo dục toán học. Theo Chevallard, mọi hành vi giải quyết vấn đề đều có thể phân tích thành các cặp hành động – lý thuyết. Cấu trúc đầy đủ của một praxeology gồm 4 thành phần:

Thành phần	Ý nghĩa
T	Task – Nhiệm vụ, bài toán cụ thể
τ	Technique – Kỹ thuật giải bài toán
θ	Technology – Lý giải kỹ thuật đã dùng
Θ	Theory – Khung lý thuyết bao trùm

Ví dụ: Khi học sinh được yêu cầu "tính đạo hàm của hàm số bậc hai", thì:

• T là yêu cầu tính đạo hàm
• τ là quy tắc sử dụng công thức $\frac{d}{dx} ax^2 = 2ax$
• θ là diễn giải tại sao quy tắc đó đúng – dựa vào giới hạn
• Θ là lý thuyết đạo hàm trong giải tích

Khái niệm praxeology giúp phân tích các cấu trúc hành vi học tập và giảng dạy một cách hệ thống, đồng thời làm rõ tính thể chế hóa của tri thức trong môi trường giáo dục.

Didactic transposition: Quá trình chuyển đổi tri thức

Một khái niệm quan trọng khác trong ATD là didactic transposition – quá trình tri thức học thuật (scientific knowledge) được chuyển thành tri thức giảng dạy (didactic knowledge). Quá trình này chia thành hai pha:

1. Transposition ngoại tại: Tri thức được chọn lọc và tái cấu trúc từ lĩnh vực chuyên môn để xây dựng chương trình học.
2. Transposition nội tại: Giáo viên chuyển nội dung chương trình thành bài giảng cụ thể cho lớp học.

Ví dụ, khái niệm tích phân trong toán học đại học thường được trình bày dưới dạng định nghĩa chính quy qua giới hạn của tổng Riemann, trong khi trong chương trình phổ thông, nó được dạy qua công thức nguyên hàm và hình học diện tích. Đây là kết quả của quá trình transposition nhằm phù hợp với năng lực nhận thức và mục tiêu giáo dục phổ thông.

Didactic transposition không chỉ là kỹ thuật sư phạm, mà còn là hiện tượng xã hội, phụ thuộc vào:

• Thể chế giáo dục (quy định, khung chương trình, thời lượng học)
• Năng lực và kiến thức của giáo viên
• Truyền thống văn hóa giảng dạy ở địa phương

Phân tích quá trình này cho thấy vì sao có sự khác biệt lớn giữa kiến thức toán trong sách giáo khoa và trong các bài báo khoa học. Đồng thời, nó lý giải các hạn chế trong hiểu biết toán học của học sinh như là kết quả hệ thống chứ không chỉ do phương pháp giảng dạy.

Thuyết nhân học và thể chế giảng dạy (didactic institutions)

Một trong những đóng góp quan trọng của Thuyết nhân học trong didactic toán là nhấn mạnh vai trò của các thể chế giảng dạy. Theo ATD, việc học và dạy toán không thể được hiểu đầy đủ nếu chỉ nhìn vào cá nhân giáo viên hoặc học sinh, mà cần phân tích bối cảnh thể chế nơi tri thức được thể hiện. Thể chế ở đây không chỉ là nhà trường, mà còn bao gồm chương trình học, kỳ thi, chính sách giáo dục, truyền thống học thuật và các chuẩn mực xã hội.

Mỗi thể chế sở hữu những quy tắc, kỳ vọng và giới hạn riêng đối với tri thức. Chẳng hạn, trong chương trình phổ thông, hàm số lũy thừa thường chỉ được xét với số mũ nguyên dương, bỏ qua các trường hợp mở rộng như số thực âm hoặc phức vì lý do đơn giản hóa và khả thi về mặt thời lượng học. Điều này dẫn đến sự "cắt xén" khái niệm trong quá trình giảng dạy.

Bảng sau minh họa ảnh hưởng của thể chế đến nội dung được dạy:

Tri thức toán học	Phiên bản hàn lâm	Phiên bản trong chương trình học	Giới hạn bởi thể chế
Giới hạn dãy số	Định nghĩa epsilon–N	Diễn giải trực quan	Không dạy định nghĩa epsilon
Phương trình vi phân	Dạng tổng quát cấp cao	Chỉ xét phương trình tách biến đơn giản	Hạn chế bởi mục tiêu phổ thông

Việc nhận diện các giới hạn này giúp giáo viên hiểu vì sao học sinh thường có nhận thức lệch lạc hoặc không đầy đủ về các khái niệm. Đồng thời, nó cũng mở ra hướng cải tiến chương trình học từ góc nhìn hệ thống thay vì cá nhân.

Khái niệm về hệ sinh thái của các praxeology

Một praxeology không tồn tại đơn lẻ. Trong thực tế giảng dạy, chúng tạo thành một hệ sinh thái praxeology – tức mạng lưới các kỹ thuật, lý giải và nhiệm vụ liên kết chặt chẽ với nhau. Việc dạy một khái niệm như tích phân không chỉ yêu cầu học sinh biết tính nguyên hàm, mà còn hiểu mối liên hệ với đạo hàm, diện tích hình phẳng, ứng dụng vật lý, v.v.

ATD cho phép mô hình hóa mạng lưới này để phân tích độ đầy đủ (completeness) của hệ thống giảng dạy. Nếu một praxeology bị cắt rời khỏi mạng lưới liên quan, học sinh có thể học kỹ thuật mà không hiểu ý nghĩa lý thuyết – dẫn đến học vẹt hoặc hiểu sai.

• Praxeology bị rút gọn → mất khả năng suy luận
• Praxeology bị tách rời → mất kết nối với các nội dung khác
• Praxeology bị áp đặt → học sinh thực hiện mà không hiểu lý do

Mục tiêu của phân tích hệ sinh thái là khôi phục sự toàn vẹn tri thức và đề xuất các phương án dạy học giúp học sinh phát triển hiểu biết sâu sắc, kết nối và vận dụng linh hoạt.

M-DE Model: Môi trường-didactic

Chevallard phát triển mô hình M-DE để mô tả mối quan hệ ba chiều giữa người học (É), người dạy (D) và môi trường học tập (M). Đây là một mô hình động, trong đó mỗi thành phần vừa tác động lên nhau vừa bị chi phối bởi các yếu tố ngoại vi như chương trình học, thời gian, mục tiêu giáo dục.

Cấu trúc mô hình:

Thành phần	Mô tả
M (Milieu)	Hệ thống phản hồi – bài toán, tài nguyên, phản ứng
D (Didactic Subject)	Giáo viên, người quyết định chiến lược dạy
É (Élève)	Người học – tác nhân học tập chủ động

Môi trường không phải là không gian vật lý mà là hệ thống phản ứng – bài toán phản ứng với lời giải của học sinh. Khi học sinh đưa ra lời giải, môi trường (bài toán, máy tính, giáo viên, sách...) phản hồi và quá trình học diễn ra thông qua tương tác đó.

Mô hình này làm rõ rằng việc học không chỉ diễn ra trong đầu học sinh, mà là sản phẩm của hệ thống tương tác ba chiều, bị điều chỉnh liên tục theo ngữ cảnh.

Ứng dụng thực tế trong nghiên cứu lớp học

ATD đã được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu lớp học và thiết kế chương trình học ở nhiều quốc gia châu Âu, đặc biệt là Pháp, Tây Ban Nha, Đan Mạch và Bồ Đào Nha. Các nghiên cứu này thường sử dụng praxeology như công cụ phân tích nội dung và tương tác trong lớp.

Một số ứng dụng cụ thể:

• Thiết kế chuỗi bài học (didactic engineering) dựa trên praxeology
• So sánh chương trình học giữa các quốc gia
• Phân tích khoảng cách giữa tri thức hàn lâm và tri thức giảng dạy

Ví dụ, nghiên cứu của Winsløw & Grønbæk (2014) tại Đan Mạch sử dụng ATD để phân tích việc dạy giải tích tại đại học, từ đó xác định thiếu hụt lý luận trong các khóa học định hướng kỹ thuật và đề xuất cải tiến nhằm tăng tính công cụ hóa tri thức.

Tài liệu tham khảo: Reformulating university mathematics teaching using ATD.

Giới hạn và phê phán lý thuyết

Dù ATD có phạm vi phân tích rộng và hệ thống hóa tốt, nó không tránh khỏi các giới hạn. Trước hết, lý thuyết này có xu hướng trừu tượng hóa cao, khó tiếp cận đối với giáo viên phổ thông hoặc nhà nghiên cứu mới vào nghề. Việc vận dụng praxeology đòi hỏi người nghiên cứu phải có hiểu biết sâu về cả nội dung toán học lẫn lý luận giáo dục.

Ngoài ra, một số phê phán cho rằng ATD mang tính mô tả hơn là khuyến nghị. Nó giúp nhận diện vấn đề trong giáo dục toán, nhưng không luôn đưa ra hướng giải quyết rõ ràng. Trong thực tế, việc thiết kế lại chương trình học dựa trên ATD cần sự phối hợp giữa nhà nghiên cứu, giáo viên và cơ quan giáo dục – điều không dễ thực hiện trong môi trường hành chính phức tạp.

Tuy nhiên, nếu được dùng như một khung phản biện – một cách “nhìn” hệ thống – ATD vẫn giữ vai trò quan trọng trong các cải cách giáo dục toán có chiều sâu và bền vững.

Kết luận

Thuyết nhân học trong didactic toán học mở ra một cách nhìn sâu sắc và hệ thống về bản chất của tri thức toán học trong môi trường giáo dục. Với các công cụ như praxeology, didactic transposition và mô hình M-DE, ATD giúp giải thích các hiện tượng thường bị bỏ qua trong giảng dạy, từ sự sai lệch tri thức đến mâu thuẫn chương trình. Mặc dù không phải là giải pháp hoàn chỉnh, lý thuyết này là nền tảng quan trọng cho những ai muốn hiểu và cải thiện việc dạy và học toán một cách khoa học và bền vững.

Tài liệu tham khảo

1. Chevallard, Y. (1991). La transposition didactique: Du savoir savant au savoir enseigné. La Pensée Sauvage.
2. Chevallard, Y. (2006). Steps Towards a New Epistemology in Mathematics Education. Proceedings of CERME 4.
3. Winsløw, C. & Grønbæk, N. (2014). Reformulating university mathematics teaching using ATD. ZDM Mathematics Education.
4. Gascón, J. (2001). From the Theory of Didactic Transposition to the Anthropological Theory of the Didactic. For the Learning of Mathematics.
5. Sensevy, G. (2011). The Anthropology of Didactics. Educational Studies in Mathematics.